一为什么需要研究门函数在数字信号处理或物理测量中不存在“直接取”而不产生门的情况。1、你“取一段”的动作在数学上天然就包含了三个要素开始时间、结束时间、中间保留。2、把这个动作翻译成数学语言就是在开始和结束之间乘以1保留在开始之前和结束之后乘以0丢弃。3、而这个“在特定区间内为1区间外为0”的函数恰恰就是门函数矩形窗的定义所以不是“我们非要故意用门去截断”而是“任意取一段”这个行为在数学上的本质就是“乘以一个门函数”。你无法只做“取”的动作而不引入“门”的形状。大体意思就是说任意一段有限的信号片段都相当于在时域上乘以了一个门函数。那么就会带来一个问题有棱角求导就会产生冲激有冲激频域就必然产生无穷无尽的波浪拖尾频谱泄露。因为俩边是直角90度的悬崖所以高频成份最为混乱。二门函数的特性1、时域特性门函数在时域上极其简单粗暴数学上记作 Gτ(t)Gτ(t) 或 rect(t/τ)rect(t/τ)1、定义在时间轴上从 −τ/2−τ/2 到 τ/2τ/2 的区间内幅值恒定为 1或 A区间外幅值恒定为 0。2、几何参数宽度 ττ和高度 1。3、关键面积它的包围面积 宽度 × 高度 τ×1ττ×1τ。一句话记住外貌“平顶、陡壁、两边归零。”它是信号处理中最不讲情面的“铁闸”。2、频域特性无尽涟漪这是门函数最核心、最“惹祸”的特性。它的傅里叶变换频谱是一个Sa 函数抽样函数也叫 Sinc 函数这个频谱有三个极其重要的特征1、主瓣在频率为 0 的中心位置能量最高幅值为 ττ。2、旁瓣拖尾左右两侧能量呈波浪状衰减但永不归零一直抖到频率无穷大。3、过零点在频率等于 1/τ,2/τ,3/τ...1/τ,2/τ,3/τ... 的位置幅值恰好为 0波浪穿过横轴。惊天大发现时域越宽ττ 越大频域主瓣越窄集中在低频旁瓣越密时域越窄ττ 越小频域主瓣越宽占据高频旁瓣越疏。这就是测不准原理在傅里叶变换中的体现。3、积分和求导、卷积求导找棱角对门函数求一次导在它的上升沿蹦出一个正冲激在下降沿蹦出一个负冲激。门越陡峭隐藏的冲激越猛烈。积分变平滑门函数自身的积分从负无穷积到 tt会变成一个梯形或阶跃函数。自卷积变三角一个门函数与它自己卷积结果是一个三角形函数三角窗。这是数字信号处理中构造“平滑窗”的基础。三门函数矩形窗的缺陷1、时域信号在边界处直接从 1 跳变到 0有陡峭的悬崖。2、频域后果悬崖越陡高频分量越丰富而且衰减极慢旁瓣衰减率仅-6dB/倍频程最高旁瓣只衰减 -13dB。工程思维的灵魂来了如果我们削平这座“悬崖”让信号在边界不是“跳下去”而是“滑下去”缓慢平滑地降到 0那么在频域旁瓣就会被极大地压制下去。汉宁窗Hanning和海明窗Hamming就是把原本“方方正正”的门改造成了“两边圆润、中间鼓起”的纺锤形余弦形状。四、如何解决旁瓣无穷涟漪工程上常用的“汉宁窗”或“海明窗”是怎么通过改变门的“圆滑度”来压制旁瓣。三个窗的比较矩形窗是“硬截断”汉宁窗是“软着陆”海明窗是“带点保留的软着陆”。当你把时域的陡峭边缘削平滑后频域会发生三个显著变化① 矩形窗门函数——粗鲁的莽汉最高旁瓣-13dB旁瓣能量很强相当于主瓣的 22%。旁瓣衰减速度极慢-6dB/倍频程。后果如果附近有个大信号它的“裙摆”会完全淹没旁边的小信号。② 汉宁窗——优雅的绅士原理因为两端完全归零时域波形不仅连续而且它的一阶导数也是连续的极其平滑。最高旁瓣猛降至-32dB旁瓣能量只有主瓣的 0.25%泄露大幅减少。旁瓣衰减速度极快-18dB/倍频程。代价主瓣比矩形窗宽了 1.5 倍频率分辨率变差了两个挨得很近的频率可能会糊在一起。③ 海明窗——精明的妥协者原理它故意不让两端降到 0保留 0.08 的台阶。这带来一个数学上的“魔法”它用略微牺牲一点“平滑度”导数不连续换来了把最大的那个旁瓣给压到极低。最高旁瓣压到了惊人的-43dB比汉宁窗还低 11dB。旁瓣衰减速度前期衰减快但远处衰减速度又变回了慢-6dB/倍频程。代价和收益主瓣宽度和汉宁窗差不多宽但近旁瓣泄露最小对附近大信号的抑制能力最强。一张表看懂三者的“性格”差异工程选型宝典特性指标矩形窗门汉宁窗海明窗主瓣宽度分辨率最窄最好较宽较宽比汉宁略窄一丢丢最高旁瓣泄露大小-13dB极差-32dB良好-43dB极好旁瓣衰减速度最慢6dB/oct最快18dB/oct慢6dB/oct远距离衰减不足时域边界悬崖跳变完美归零光滑微跳变不归零最适合场景瞬态信号、脉冲或不关心泄露时大多数通用频谱分析精准测幅动态范围极大需辨别微小信号时三窗工程选择工程上的“铁律”选择法1、如果你只看重频率的位置测频不关心幅值干脆就用矩形窗分辨率最高。2、如果你在测一个正弦波的功率要测准果断用汉宁窗幅度精度极高泄露少。3、如果你面前有个强大的信号旁边紧挨着一个极弱的小信号必须用海明窗把强信号的“裙摆”旁瓣压到 -43dB才能看清下面的小信号。做 FFT 分析时默认第一选择通常是汉宁窗因为它在绝大多数情况下“不出错”。当你真正遇到频谱打架时再切换到海明窗试试
