AI解数学猜想爱找反例现象1998年菲尔兹奖得主、英国数学家Timothy Gowers指出给AI一道数学猜想它先琢磨的是怎么把它推翻找反例。最近Gowers把这几个月AI最轰动的数学战绩梳理后发现雅可比猜想、Erdős单位距离猜想等AI的处理方式都是找反例或构造新对象。人类数学家关注结论为何成立而AI则质疑结论是否真的成立。AI“找反例”与“反证法”的区别需要说明的是Gowers提到的「找反例」和学生时代学过的「反证法」有区别。上学时学的反证法是先假设结论不成立推导到矛盾来证明原命题成立而Gowers说的「找反例」更直接比如有人提出所有满足A的对象都具有B性质AI只需找出一个满足A但没有B的对象就能推翻猜想。AI在数学突破中“找反例”的实例最近AI最轰动的几场数学突破很多是通过“找反例”实现的。上个月OpenAI内部模型搞定的Erdős单位距离问题数学界近80年形成的增长判断被广泛相信很多研究围绕证明该判断展开但AI却花大量推理预算找反例最后用代数数论工具构造出点集使单位距离对数量以意外速度增长击穿了流传数十年的判断。数学家查看其推理轨迹发现它大量时间用于尝试构造和寻找反例。Claude也助力数学家Levent Alpöge找到了雅可比猜想相关问题的反例AI不需要正面证明只需找出特殊对象检查前提和结论就能推翻猜想。Gowers看OpenAI公布的10项数学成果如“是否所有群都是sofic群”问题AI构造出非sofic群多色Ramsey数的进展也有很强的构造味需先找到特殊组合对象。当前AI容易做出大动静的数学问题很多可归结为“有没有这么一个东西”若答案是有AI就会发挥搜索、跨领域搬工具等能力找出该对象。AI爱找反例的原因Gowers认为大模型有两个优势。一是知道得多如果题目的突破口在已有数学工具、相邻领域或少见的技巧组合里大模型有机会从知识仓库中翻出。如单位距离问题AI借用代数数论工具突破而人类实现跨领域跳跃可能需研究者同时懂两边知识模型组合成本更低。二是试得起OpenAI公布的成果显示AI找数学反例消耗的Token按API价格折算仅「数千」美元很多对人类数学家成功率低、不值得投入时间的路线AI可放开尝试。人类数学家找例子的方法及AI的局限数学家找例子、找反例的方法有用「祖传」经典对象测试如测试布尔函数猜想用独裁函数等拼装从基础对象出发构造随机法从分布里随机挑对象逐步逼近法先写大概答案再修正。前面这些方法适合大模型因其知识库大、速度快、失败成本低。但越往后越考验一种能力Gowers称之为数学家的「鼻子」即能判断搜索路径是否有戏。真正厉害的研究者能迅速砍掉无价值的搜索路径而目前AI在这方面表现不佳如Gowers和AI讨论开放问题时AI常提出不可靠方案还称把问题缩小成更精确子问题但多次如此就让人怀疑是在逼近答案还是描述迷路。AI进入顶级数学创造阶段的标准Gowers虽未神化AI但预计模型会快速进步一两年内可能增强判断路径的能力。目前AI强项更像广度优先广泛调用知识和探索路径。Gowers给AI真正进入顶级数学创造阶段设下浪漫标准AI给出的解法不仅能解题还能带来新方法且该方法能被其他数学家利用做出新成果到那时AI在数学界的身份可能真正改变。
